Cho hình chữ nhật ABCD

Bài 1:
Gọi E là giao điểm của đường vuông góc qua A và BD.
Khi đó, ta có AE = AH = 12 cm và AB = 20 cm.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AE // BC và AE = BC.
Do đó, ta có BC = AE = 12 cm.
Chu vi hình chữ nhật ABCD là: 2(AB + BC) = 2(20 + 12) = 2(32) = 64 cm.

Bài 2:
a) Vì AC và BD là đường chéo của hình vuông ABCD và vuông góc với nhau tại O, nên ta có:
OB = OD = AC = BD = AB = 15 cm.

c) Diện tích hình vuông ABCD là: AB^2 = 15^2 = 225 cm^2.

Bài 3:
Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AD.
Khi đó, ta có AE = BC = 37 cm và AB = 45 cm.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABE, ta có:
AE^2 = AB^2 - BE^2
37^2 = 45^2 - BE^2
BE^2 = 45^2 - 37^2
BE^2 = 2025 - 1369
BE^2 = 656
BE = √656
BE ≈ 25.61 cm.

Chiều cao hình thang ABCD là: BE = 25.61 cm.
Diện tích hình thang ABCD là: (AB + CD) * BE / 2 = (45 + 10) * 25.61 / 2 = 55 * 25.61 / 2 ≈ 703.55 cm^2.

Bài 4:
Gọi h là chiều cao của hình thang ABCD.
Vì AB = AD = BC, nên ta có AB = AD = BC = x.
Vì DC = 22 cm, nên ta có CD = DC - AB = 22 - x.
Vì chu vi hình thang ABCD là 52 cm, nên ta có:
AB + BC + CD + AD = 52
x + x + (22 - x) + x = 52
3x + 22 = 52
3x = 52 - 22
3x = 30
x = 10

Vậy chiều cao hình thang ABCD là: h = AB = AD = BC = 10 cm.

Bài 5:
Gọi AC và BD là hai đường chéo của tứ giác ABCD.
Vì AC và BD vuông góc với nhau, nên ta có:
AC^2 + BD^2 = AB^2 + CD^2
Đây chính là định lý Pythagoras cho tứ giác ABCD.

Bài 6:
Gọi E, F, G là hình chiếu vuông góc của H lên AB, BC, CD.
Khi đó, ta có:
HA : HB = HE : HF = HG : HD
HA : HB = 3 : 1
HB : HC = HF : HG = 1 : 2
HC : HD = 2 : 4

Từ đó, ta có:
HA : HB : HC : HD = 3 : 1 : 2 : 4