a) Để chứng minh bốn điểm A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Ta biết tứ giác AABC là tứ giác vuông tại A, do đó, góc BAC là góc vuông.

Vì AABC là tứ giác vuông, nên ta có các đường cao AH và AC, trong đó AH là đường cao từ A xuống HC và AC là đường cao từ A xuống BC.

Gọi I là giao điểm của đường cao AH và đường cao AC.

Theo định lý Euclid, điểm I nằm trên đường tròn đường kính HC (đường cao trong tam giác AHC).

Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên AB và N lên AC, nên ta có HM ⊥ AB và HN ⊥ AC.

Do đó, tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính HC.

b) Để tính độ dài cạnh BC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACB:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Thay giá trị vào phương trình:

4^2 = 3.2^2 + BC^2

16 = 10.24 + BC^2

BC^2 = 16 - 10.24

BC^2 = 5.76

BC = √5.76

c) Để chứng minh BD || AE, ta cần chứng minh tứ giác BDAE là tứ giác lồi.

Gọi F là giao điểm của BD và AE.

Ta có:

BD ⊥ AC (do đường thẳng BD vuông góc với AC)

AE ⊥ AC (do đường thẳng AE vuông góc với AC)

Vì BD và AE đồng quy trên AC, nên ta có BD || AE.