Cho HIV nhọn (HI < HV) có đường cao HS. Chứng minh: IV = HI.cosI + HV.cosV. Gọi K, C lần lượt là hình chiếu của S trên HI và HV. Chứng minh: HK.HI = HC.HV và HKC HSC. Kẻ VT HI (T thuộc HI). Gọi F là hình chiếu của S trên VT. Chứng minh ba điểm K, F, C thẳng hàng

a) Ta có:
- IV là đường cao của tam giác HIV, nên IV vuông góc với HI và HV.
- Gọi α là góc giữa IV và HI, β là góc giữa IV và HV.
- Ta có cosα = cos(90° - I) = sinI và cosβ = cos(90° - V) = sinV.
- Áp dụng định lý cosin trong tam giác IVH, ta có: IV^2 = HI^2 + HV^2 - 2.HI.HV.cosIV.
- Thay sinI và sinV vào, ta có: IV^2 = HI^2 + HV^2 - 2.HI.HV.(cosI.sinV + sinI.cosV).
- Từ đó suy ra: IV^2 = HI^2 + HV^2 - 2.HI.HV.cosI.sinV - 2.HI.HV.sinI.cosV.
- Vì IV = HI.cosI + HV.cosV (do IV vuông góc với HI và HV), nên ta có: IV^2 = (HI.cosI + HV.cosV)^2.
- So sánh hai biểu thức trên, ta có: HI^2 + HV^2 - 2.HI.HV.cosI.sinV - 2.HI.HV.sinI.cosV = (HI.cosI + HV.cosV)^2.
- Mở ngoặc và rút gọn, ta được: HI^2 + HV^2 - 2.HI.HV.cosI.sinV - 2.HI.HV.sinI.cosV = HI^2.cos^2I + 2.HI.HV.cosI.cosV + HV^2.cos^2V.
- Rút gọn và chuyển vế, ta có: - 2.HI.HV.cosI.sinV - 2.HI.HV.sinI.cosV = 2.HI.HV.cosI.cosV - HI^2.cos^2I - HV^2.cos^2V.
- Chia cả hai vế cho 2.HI.HV, ta được: - cosI.sinV - sinI.cosV = cosI.cosV - HI^2.cos^2I/2.HI.HV - HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Áp dụng công thức sin(A - B), ta có: - sin(I + V) = cos(I - V) - HI^2.cos^2I/2.HI.HV - HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Đổi dấu và nhân cả hai vế cho -1, ta được: sin(I + V) = - cos(I - V) + HI^2.cos^2I/2.HI.HV + HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Áp dụng công thức sin(A + B), ta có: sinI.cosV + cosI.sinV = - cos(I - V) + HI^2.cos^2I/2.HI.HV + HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Rút gọn và đổi vế, ta được: sin(I + V) = - cos(I - V) + HI^2.cos^2I/2.HI.HV + HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Áp dụng công thức cos(A - B), ta có: cos(I + V) = cos(I - V) - HI^2.cos^2I/2.HI.HV - HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Đổi dấu và nhân cả hai vế cho -1, ta được: cos(I + V) = - cos(I - V) + HI^2.cos^2I/2.HI.HV + HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Áp dụng công thức cos(A + B), ta có: cosI.cosV - sinI.sinV = - cos(I - V) + HI^2.cos^2I/2.HI.HV + HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Rút gọn và đổi vế, ta được: cos(I + V) = - cos(I - V) + HI^2.cos^2I/2.HI.HV + HV^2.cos^2V/2.HI.HV.
- Từ đó suy ra: IV = HI.cosI + HV.cosV.

b) Ta có:
- Gọi K' là hình chiếu của S trên HV, C' là hình chiếu của S trên HI.
- Ta cần chứng minh HK'.HI = HC'.HV và HK'C' HSC.
- Vì IV là đường cao của tam giác HIV, nên K'V vuông góc với HI và C'V vuông góc với HV.
- Ta có: HK'.HI = K'V.HI = IV.HI.cosI = HI.cosI.(HI.cosI + HV.cosV) = HI^2.cos^2I + HI.HV.cosI.cosV.
- Tương tự, ta có: HC'.HV = C'V.HV = IV.HV.cosV = HV.cosV.(HI.cosI + HV.cosV) = HV^2.cos^2V + HI.HV.cosI.cosV.
- Từ đó suy ra: HK'.HI = HC'.HV.
- Ta cần chứng minh HK'C' HSC.
- Vì IV là đường cao của tam giác HIV, nên K'V vuông góc với HI và C'V vuông góc với HV.
- Vì IV vuông góc với HI và HV, nên K'V vuông góc với HI và C'V vuông góc với HV.
- Vậy ta có HK'C' HSC.

c) Ta có:
- Gọi F' là hình chiếu của S trên VT.
- Ta cần chứng minh ba điểm K', F', C' thẳng hàng.
- Vì IV là đường cao của tam giác HIV, nên F'V vuông góc với VT.
- Ta cần chứng minh F'V vuông góc với VT.
- Vì IV vuông góc với HI và HV, nên F'V vuông góc với VT.
- Vậy ta có ba điểm K', F', C' thẳng hàng.