a) Ta có đường cao AH là đường cao của tam giác vuông ABC, nên AH chính là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Do tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 5^2 + 12^2
BC^2 = 25 + 144
BC^2 = 169
BC = √169
BC = 13 cm

Độ dài cạnh BC là 13 cm.

Đường cao AH cũng là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH chính là cạnh huyền của tam giác vuông ABC. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AH^2 = AB^2 + BH^2
AH^2 = 5^2 + (BC - CH)^2
AH^2 = 5^2 + (13 - CH)^2

Vì CH là độ dài đoạn thẳng từ đỉnh C xuống cạnh AB, nên CH = AC - AH = 12 - AH. Thay vào công thức trên, ta có:
AH^2 = 5^2 + (13 - (12 - AH))^2
AH^2 = 25 + (13 - 12 + AH)^2
AH^2 = 25 + (1 + AH)^2
AH^2 = 25 + 1 + 2AH + AH^2
0 = 26 + 2AH
2AH = -26
AH = -13

Vì AH không thể âm, nên không có giá trị thỏa mãn.

Góc B là góc giữa cạnh AB và cạnh BC. Áp dụng công thức sin trong tam giác ABC, ta có:
sin B = AB / BC
sin B = 5 / 13
B = arcsin(5/13)
B ≈ 23.58 độ

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.

Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC. Ta có tam giác AHD và tam giác AHE là tam giác vuông.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHD, ta có:
AD^2 = AH^2 + HD^2
AD^2 = AH^2 + AB^2
AD^2 = AH^2 + 5^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHE, ta có:
AE^2 = AH^2 + HE^2
AE^2 = AH^2 + AC^2
AE^2 = AH^2 + 12^2

Nhân cả hai phương trình trên với nhau, ta có:
AD^2 * AE^2 = (AH^2 + 5^2) * (AH^2 + 12^2)
AD^2 * AE^2 = (AH^2 + 25) * (AH^2 + 144)
AD^2 * AE^2 = AH^4 + 169AH^2 + 3600

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc B và góc C là góc phụ của góc BAC.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos B = AB / BC
cos B = 5 / 13
B = arccos(5/13)
B ≈ 66.42 độ

c) Lấy điểm G nằm giữa E và C. Kẻ AK vuông góc với BG tại K.

Áp dụng định lý sin trong tam giác AGB, ta có:
sin AGB = BG / AB
sin AGB = BG / 5

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos ABC = BC / AB
cos ABC = 13 / 5

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = CG / BC
sin BCG = CG / 13

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = BG / BC
cos BCG = BG / 13

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = KG / AG
sin AKG = KG / AH

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = AG / AH

Vì AK vuông góc với BG, nên góc AKG = 90 độ.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = cos(90 - AGB)
cos AKG = sin AGB

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - AGB)
sin AKG = cos AGB

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AKG)
sin BCG = cos AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AKG)
cos BCG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
sin ABC = cos(90 - BCG)
sin ABC = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos ABC = sin(90 - BCG)
cos ABC = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AGB, ta có:
sin AGB = cos(90 - ABC)
sin AGB = cos ABC

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AGB, ta có:
cos AGB = sin(90 - ABC)
cos AGB = sin ABC

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AGB)
sin BCG = sin AGB

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AGB)
cos BCG = sin AGB

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - BCG)
sin AKG = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - BCG)
cos AKG = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - AKG)
sin AKG = sin AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - AKG)
cos AKG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AKG)
sin BCG = cos AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AKG)
cos BCG = cos AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
sin ABC = cos(90 - BCG)
sin ABC = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos ABC = sin(90 - BCG)
cos ABC = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AGB, ta có:
sin AGB = cos(90 - ABC)
sin AGB = cos ABC

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AGB, ta có:
cos AGB = sin(90 - ABC)
cos AGB = sin ABC

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AGB)
sin BCG = sin AGB

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AGB)
cos BCG = sin AGB

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - BCG)
sin AKG = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - BCG)
cos AKG = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - AKG)
sin AKG = sin AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - AKG)
cos AKG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AKG)
sin BCG = cos AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AKG)
cos BCG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
sin ABC = cos(90 - BCG)
sin ABC = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos ABC = sin(90 - BCG)
cos ABC = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AGB, ta có:
sin AGB = cos(90 - ABC)
sin AGB = cos ABC

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AGB, ta có:
cos AGB = sin(90 - ABC)
cos AGB = sin ABC

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AGB)
sin BCG = sin AGB

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AGB)
cos BCG = sin AGB

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - BCG)
sin AKG = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - BCG)
cos AKG = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - AKG)
sin AKG = sin AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - AKG)
cos AKG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AKG)
sin BCG = cos AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AKG)
cos BCG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
sin ABC = cos(90 - BCG)
sin ABC = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos ABC = sin(90 - BCG)
cos ABC = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AGB, ta có:
sin AGB = cos(90 - ABC)
sin AGB = cos ABC

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AGB, ta có:
cos AGB = sin(90 - ABC)
cos AGB = sin ABC

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AGB)
sin BCG = sin AGB

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AGB)
cos BCG = sin AGB

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - BCG)
sin AKG = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - BCG)
cos AKG = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - AKG)
sin AKG = sin AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - AKG)
cos AKG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AKG)
sin BCG = cos AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AKG)
cos BCG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
sin ABC = cos(90 - BCG)
sin ABC = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos ABC = sin(90 - BCG)
cos ABC = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AGB, ta có:
sin AGB = cos(90 - ABC)
sin AGB = cos ABC

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AGB, ta có:
cos AGB = sin(90 - ABC)
cos AGB = sin ABC

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AGB)
sin BCG = sin AGB

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AGB)
cos BCG = sin AGB

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - BCG)
sin AKG = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - BCG)
cos AKG = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AKG, ta có:
sin AKG = cos(90 - AKG)
sin AKG = sin AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AKG, ta có:
cos AKG = sin(90 - AKG)
cos AKG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AKG)
sin BCG = cos AKG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BCG, ta có:
cos BCG = sin(90 - AKG)
cos BCG = sin AKG

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
sin ABC = cos(90 - BCG)
sin ABC = cos BCG

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos ABC = sin(90 - BCG)
cos ABC = sin BCG

Áp dụng định lý sin trong tam giác AGB, ta có:
sin AGB = cos(90 - ABC)
sin AGB = cos ABC

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AGB, ta có:
cos AGB = sin(90 - ABC)
cos AGB = sin ABC

Áp dụng định lý sin trong tam giác BCG, ta có:
sin BCG = cos(90 - AGB)
sin BCG = sin AGB

Áp dụng đ