Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại E, F. Từ điểm A bất kì trên (d) và ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của EF và BC cắt OA, OH lần lượt tại I, K. Chứng minh: KF là tiếp tuyến của (O;R)

Để chứng minh KF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R), ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. KF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R): tức là góc KFO bằng góc KOF.
2. KF cắt đường tròn (O;R) tại điểm F.

Đầu tiên, ta chứng minh góc KFO bằng góc KOF.
Gọi G là giao điểm của AB và EF. Ta có:
- G là trung điểm của AB (do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) nên AG = GB).
- G là trung điểm của EF (do H là trung điểm của EF nên GH = HE).
- Do đó, GH // AB và GH = 1/2 AB.
- Từ đó, ta có góc KFO = góc GFO = góc GHO (do GH // AB) = góc KOG (do GH = HE).
- Tương tự, ta có góc KOF = góc GOH.
- Vậy, góc KFO = góc KOF.

Tiếp theo, ta chứng minh KF cắt đường tròn (O;R) tại điểm F.
Gọi M là giao điểm của KF và đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh M = F.
- Ta có góc KFO = góc KOF (đã chứng minh ở trên).
- Gọi N là giao điểm của KO và đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh N = F.
- Ta có góc KFO = góc KOF = góc NOF (do KF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)).
- Vậy, ta có góc NOF = góc KOF = góc KFO = góc NFO.
- Do đó, NF = NO (hai cạnh đối của hai góc bằng nhau).
- Vậy, N = F.

Từ hai điều kiện trên, ta có KF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
Vậy, KF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).