a, Tứ giác ADCE là hình chữ nhật. Vì trong tam giác cân ABC, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác cân ADC và ADB. M là trung điểm của AC nên AM = MC. Vì vậy, ta có AM = MC = MD. Do đó, tứ giác ADCE có hai cạnh AD và CE bằng nhau và hai cạnh DC và AE bằng nhau, nên tứ giác ADCE là hình chữ nhật.

b, Tứ giác ABDM là hình bình hành. Vì trong tam giác cân ABC, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác cân ADC và ADB. M là trung điểm của AC nên AM = MC. Vì vậy, ta có AM = MC = MD. Do đó, tứ giác ABDM có hai cạnh AB và DM bằng nhau và hai cạnh AD và BM bằng nhau, nên tứ giác ABDM là hình bình hành.

c, Tứ giác ADCE là hình vuông khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. Vì trong tam giác đều, đường cao AD cũng là đường trung tuyến nên M là trung điểm của AB. Khi đó, tứ giác ADCE có hai cạnh AD và CE bằng nhau và hai cạnh DC và AE bằng nhau, nên tứ giác ADCE là hình vuông.

d, Tứ giác ABDM là hình thang cân khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân. Vì trong tam giác cân, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác cân ADC và ADB. Khi đó, tứ giác ABDM có hai cạnh AB và DM bằng nhau và hai cạnh AD và BM bằng nhau, nên tứ giác ABDM là hình thang cân.