Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x^2 + 3y^2 – 2xy – 14y + 2x + 2014, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đầu tiên, ta nhận thấy biểu thức A có thể viết lại thành:
A = (x^2 - 2xy + y^2) + 2x - 14y + 2014
= (x - y)^2 + 2x - 14y + 2014

Tiếp theo, ta sẽ hoàn thành khối vuông bằng cách thêm vào biểu thức (x - y)^2 một số hạng phụ hợp lý. Ta có thể thấy rằng nếu ta thêm vào 0, thì biểu thức không thay đổi. Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức A như sau:
A = (x - y)^2 + 2x - 14y + 2014 + 0

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng ta có thể viết lại biểu thức 2x - 14y thành 2(x - 7y). Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức A như sau:
A = (x - y)^2 + 2(x - 7y) + 2014 + 0

Cuối cùng, ta nhận thấy rằng ta có thể viết lại biểu thức 2014 thành 2014 - 2(7y)^2. Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức A như sau:
A = (x - y)^2 + 2(x - 7y) + 2014 - 2(7y)^2

Biểu thức mới này có thể được viết lại thành:
A = (x - y)^2 + 2(x - 7y) + 2014 - 98y^2

Biểu thức này có dạng ax^2 + bx + c, với a = 1, b = 2, c = 2014 - 98y^2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c = 2014 - 98y^2, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Đạo hàm của biểu thức c theo y là:
c' = -196y

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c, ta giải phương trình c' = 0:
-196y = 0
y = 0

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức c là c = 2014 - 98(0)^2 = 2014.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là:
A = (x - y)^2 + 2(x - 7y) + 2014 - 2(7y)^2
= (x - 0)^2 + 2(x - 7(0)) + 2014 - 2(7(0))^2
= x^2 + 2x + 2014

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là x^2 + 2x + 2014.