Để chứng minh rằng phân số $\frac{5n+3}{3n+2}$ là phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số là 1.

Giả sử tồn tại một số nguyên dương $d$ là ước chung của $5n+3$ và $3n+2$. Khi đó, ta có:
$$
\begin{aligned}
d &\mid (5n+3) \\
d &\mid (3n+2)
\end{aligned}
$$

Từ đó, ta có:
$$
\begin{aligned}
d &\mid (5n+3) - 2(3n+2) \\
d &\mid (5n+3) - 6n - 4 \\
d &\mid -n - 1
\end{aligned}
$$

Tương tự, ta có:
$$
\begin{aligned}
d &\mid 3(5n+3) \\
d &\mid 5(3n+2)
\end{aligned}
$$

Từ đó, ta có:
$$
\begin{aligned}
d &\mid 15n + 9 \\
d &\mid 15n + 10
\end{aligned}
$$

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:
$$
\begin{aligned}
d &\mid (15n+10) - (15n+9) \\
d &\mid 1
\end{aligned}
$$

Vậy, ước chung lớn nhất của $5n+3$ và $3n+2$ là 1. Do đó, phân số $\frac{5n+3}{3n+2}$ là phân số tối giản.