Bài 1:
a) Rút gọn biểu thức:

2/3x^2 (3xy-6x+9y) - x(2xy-4x^2)
= 2/3x^2 * 3xy - 2/3x^2 * 6x + 2/3x^2 * 9y - 2xy^2 + 4x^3
= 2xy^3 - 4x^3 + 6xy^2 - 12x^3 + 6xy^2 + 9xy^2 - 18x^2y + 9xy^2 - 18x^2y
= -16x^3 + 27xy^2 - 36x^2y

b) Rút gọn biểu thức:

(12x^3 - 12x^2y + 3xy) / 3xy
= 4x^2 - 4xy + 1

c) Rút gọn biểu thức:

(x-1)^3 - (x-1)^2
= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - (x^2 - 2x + 1)
= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^2 + 2x - 1
= x^3 - 4x^2 + 5x - 2

Bài 2:
a) Thu gọn biểu thức P và tìm bậc của P:

P = 5x^2y^2 - 2xy^2 + 12xy^2 + 5y^2
= 5x^2y^2 + 10xy^2 + 5y^2
= 5y^2(x^2 + 2xy + 1)
= 5y^2(x + 1)^2

Bậc của P là 2.

b) Tính giá trị của P khi x = -1; y = 100:

P = 5y^2(x + 1)^2
= 5(100)^2((-1) + 1)^2
= 5(100)^2(0)^2
= 0

Bài 3:
a) Chứng minh tứ giác mehf là hình chữ nhật:

Ta có: mf vuông góc với bc và me vuông góc với ah.
Vì mf vuông góc với bc nên góc mfe = 90 độ.
Vì me vuông góc với ah nên góc meh = 90 độ.
Do đó, tứ giác mehf có 4 góc vuông, là hình chữ nhật.

b) Tính số đo góc amf khi abc là tam giác vuông tại a và abc = 50 độ:

Vì abc là tam giác vuông tại a nên góc amf = 90 - abc = 90 - 50 = 40 độ.

c) Chứng minh tứ giác abcn là hình bình hành:

Ta có: m là trung điểm của bn và mf vuông góc với bc.
Vì m là trung điểm của bn nên bn = 2bm.
Vì mf vuông góc với bc nên góc mfb = 90 độ.
Do đó, tứ giác abcn có 2 cạnh đối song song và góc mfb = 90 độ, là hình bình hành.

d) Chứng minh ak vuông góc với bm:

Vì abc là tam giác vuông tại a nên ah là đường cao của tam giác abc.
Vì me vuông góc với ah nên góc aem = 90 độ.
Vì m là trung điểm của bn nên bm = mn.
Vì mn vuông góc với ac nên góc amn = 90 độ.
Do đó, ak vuông góc với bm.