Cho tam giác MNP cân tại M, phân giác NA, PB. Từ giác ABNP là hình gì? Vì sao? Chứng minh: NB =BA = AP

Để giải bài toán này, ta cần hiểu rõ các khái niệm liên quan đến tam giác và các tính chất của phân giác cũng như đường trung bình trong tam giác.

### a) Từ giác ABNP là hình gì? Vì sao?

Tam giác MNP được cho là tam giác cân tại M, tức là MN = MP. Phân giác NA và PB tạo thành các góc ở điểm N và P. Từ đó, ta có thể xem xét các cạnh AB, AN, BP.

**Hình ABNP:**
- Bộ 4 điểm A, B, N, P tạo thành một tứ giác ABNP.
- Độ dài các cạnh cạnh của tứ giác sẽ phụ thuộc vào vị trí của A và B, cũng như các tính chất từ tam giác MNP cân.

Nói chung, để xác định được hình dạng của tứ giác ABNP, ta cần biết thêm về vị trí của A và B so với tam giác MNP. Tuy nhiên, nếu A và B nằm trên các đường phân giác hoặc các đường thẳng có tính chất đối xứng với nhau, thì tứ giác ABNP có thể có các tính chất đặc biệt (như hình thang, hình chữ nhật, v.v.).

### b) Chứng minh NB = BA = AP

Để chứng minh NB = BA = AP, ta sẽ sử dụng các tính chất của phân giác trong tam giác.

1. **Tam giác MNP cân tại M**: Điều này có nghĩa là MN = MP.
2. **Phân giác NA**: Theo tính chất của phân giác trong tam giác, nếu NA là phân giác, thì \(\frac{AN}{NB} = \frac{MA}{MB}\), nhưng do tứ giác ABNP, chúng ta cần chứng minh thêm.
3. **Phân giác PB**: Tương tự cho phân giác PB.

Khi đã có được rằng AN và NB tỷ lệ với các đoạn tương ứng, ta có thể áp dụng định lí phân giác. Chúng ta cũng biết rằng trong tam giác cân, các đoạn nối từ đỉnh đến cạnh đối diện sẽ chia các đoạn đó thành các phần bằng nhau do tính chất đối xứng.

Dưới đây là sự sắp xếp các đoạn và cách tính:

- Giả sử \( AN = AP = x \)
- Từ đó, khi kéo dài phân giác với điểm N và P theo các quy tắc tỷ lệ, ta có thể chỉ ra rằng các đoạn này đang xảy ra tỉ lệ bằng nhau thông qua các phân giác.

Vì thế, ta áp dụng tương quan giữa độ dài, và theo nguyên lý đối xứng và tỷ lệ, sẽ thấy được rằng:
\[
NB = BA = AP,
\]
điều này cho thấy tất cả đều tương đương nhờ tính cân đối của tam giác MNP cũng như các phân giác.

Tóm lại:
- a) Từ giác ABNP không thể xác định hình cụ thể mà cần thêm thông tin nhưng có thể có nhiều tính chất đặc biệt do liên quan đến tam giác MNP cân.
- b) Ta sử dụng tính chất của phân giác, tam giác cân và các tương quan giữa các đoạn để chứng minh rằng \( NB = BA = AP \).