a) Ta có:
$\angle BAI = \angle IAC$ (do AI là tia phân giác của $\angle BAC$)
$\angle ABI = \angle IBC$ (do IB là tiếp tuyến của (O))
Vậy $\angle BAI = \angle ABI$.
Do đó, tam giác ABD cân.

b) Ta có:
$\angle BAI = \angle IAC$ (do AI là tia phân giác của $\angle BAC$)
$\angle ABI = \angle IBC$ (do IB là tiếp tuyến của (O))
Vậy $\angle BAI = \angle ABI$.
Do đó, tam giác ABD cân.
Vậy $\angle ADB = \angle ABD$.
Mà $\angle ADB + \angle ABD = 180^\circ$ (do tổng các góc trong tam giác là 180 độ)
Vậy $\angle ADB = \angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC$.
Mà $\angle ABC = 90^\circ$ (do AB là đường kính của (O))
Vậy $\angle ADB = \angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$.
Mà $\angle ADB = 45^\circ$.
Vậy DK vuông góc với AB.

c) Ta có:
$\angle AIE = \angle ABE$ (do AE là tiếp tuyến của (O))
$\angle ABE = \angle ABD$ (do tam giác ABD cân)
Vậy $\angle AIE = \angle ABD$.
Mà $\angle ABD = \angle ADB$ (do tam giác ABD cân)
Vậy $\angle AIE = \angle ADB$.
Mà $\angle ADB = 45^\circ$ (do DK vuông góc với AB)
Vậy $\angle AIE = 45^\circ$.
Mà $\angle AIE = \angle AKE$ (do AE là tiếp tuyến của (O))
Vậy $\angle AKE = 45^\circ$.
Mà $\angle AKE = \angle EKD$ (do AK là tia phân giác của $\angle EKC$)
Vậy $\angle EKD = 45^\circ$.
Mà $\angle EKD = \angle EAD$ (do AE là tiếp tuyến của (O))
Vậy $\angle EAD = 45^\circ$.
Mà $\angle EAD = \angle EDA$ (do tam giác AED cân)
Vậy $\angle EDA = 45^\circ$.
Vậy tứ giác AEDK là hình vuông.

d) Ta có:
$\angle EAD = \angle EDA$ (do tam giác AED cân)
$\angle EAD = \angle EKD$ (do tứ giác AEDK là hình vuông)
Vậy $\angle EDA = \angle EKD$.
Mà $\angle EDA = \angle EAD$ (do tam giác AED cân)
Vậy $\angle EKD = \angle EAD$.
Mà $\angle EAD = \angle EAB$ (do AE là tiếp tuyến của (O))
Vậy $\angle EKD = \angle EAB$.
Mà $\angle EAB = \angle EBA$ (do tam giác AEB cân)
Vậy $\angle EKD = \angle EBA$.
Mà $\angle EKD = \angle EBA$ (do tứ giác AEDK là hình vuông)
Vậy $\angle EKD = \angle EBA = 90^\circ$.
Vậy EA là tiếp tuyến của (O).