a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường phân giác của góc BAC. Vì I là trung điểm của AC nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC. Do đó, AI cắt AH tại trung điểm của AH, ký hiệu là O.

Vì M là điểm đối xứng của H qua I nên ta có IM = IH và góc IMH = góc IHM = 90 độ. Vậy tứ giác AHCM là hình chữ nhật.

b) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường phân giác của góc BAC. Vì I là trung điểm của AC nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC. Do đó, AI cắt AH tại trung điểm của AH, ký hiệu là O.

Vì M là điểm đối xứng của H qua I nên ta có IM = IH và góc IMH = góc IHM = 90 độ. Vậy tứ giác ABHM là hình bình hành.

c) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A, nên diện tích tam giác ABC là S = 1/2 * AB * AH = 1/2 * 10 * 6 = 30 cm^2.

Vì tứ giác AHCM là hình chữ nhật nên diện tích tứ giác AHCM cũng là 30 cm^2.

d) Để tứ giác AHCM là hình vuông, ta cần có AH = CM. Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH = AB * sin(BAC) = 10 * sin(45) = 10 * √2 / 2 = 5√2 cm.

Vì CM là đường cao của tam giác ABC cân tại C nên CM = BC * sin(BCA) = 12 * sin(45) = 12 * √2 / 2 = 6√2 cm.

Vậy để tứ giác AHCM là hình vuông, ta cần có AH = CM = 5√2 cm = 6√2 cm, điều này không thể xảy ra.

Vậy tam giác ABC không thể là tam giác vuông.