Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB hoặc phần kéo dài của chúng lấy các điểm A', B', C' sao cho 3 điểm đó thẳng hàng

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Định lí Menelaus: Trong tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC, điểm N nằm trên cạnh CA và điểm P nằm trên cạnh AB, thì ta có:
\(\frac{BM}{MC}.\frac{CN}{NA}.\frac{AP}{PB} = 1\)

Giả sử A', B', C' lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB hoặc phần kéo dài của chúng sao cho 3 điểm đó thẳng hàng. Ta cần chứng minh:
\(\frac{BA'}{A'C}.\frac{CB'}{B'A}.\frac{AC'}{C'B} = 1\)

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với điểm M nằm trên cạnh BC, điểm N nằm trên cạnh CA và điểm P nằm trên cạnh AB, ta có:
\(\frac{BM}{MC}.\frac{CN}{NA}.\frac{AP}{PB} = 1\)

Giả sử A' nằm trên cạnh BC, B' nằm trên cạnh CA và C' nằm trên cạnh AB. Khi đó, ta có:
\(\frac{BA'}{A'C}.\frac{CB'}{B'A}.\frac{AC'}{C'B} = \frac{BM}{MC}.\frac{CN}{NA}.\frac{AP}{PB}\)

Vì A', B', C' thẳng hàng nên \(\frac{BM}{MC}.\frac{CN}{NA}.\frac{AP}{PB} = 1\)

Do đó, ta có:
\(\frac{BA'}{A'C}.\frac{CB'}{B'A}.\frac{AC'}{C'B} = 1\)

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.