a) Ta có MI = MK (do K là điểm trên tia MI sao cho MI = MK), và AI = IC (do tam giác ABC cân tại A và I là trung điểm của AC). Vậy ta có MI = MK = IC.
Do đó, tam giác MAK cân tại M và tam giác MCK cân tại K. Vì tam giác cân có hai cạnh bằng nhau nên ta có MA = MK và MC = MK.
Vậy tứ giác MAKC là hình chữ nhật.

b) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng tứ giác MAKC là hình chữ nhật. Vì MI là đường phân giác của góc AMC (do I là trung điểm của AC), nên góc AMI = góc CMI.
Tương tự, góc AKM = góc CKM.
Vậy tứ giác ABMK là hình bình hành.

c) Ta đã chứng minh ở câu b) rằng tứ giác ABMK là hình bình hành. Vì ABMK là hình bình hành nên AK = BM.
Vì I là trung điểm của AC nên IQ là đường phân giác của góc AIM (do Q là trung điểm của AM).
Tương tự, IQ là đường phân giác của góc BIM.
Vậy góc AIM = góc BIM.
Vậy tứ giác AIMB là hình thang.

d) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng tứ giác MAKC là hình chữ nhật. Vì M là trung điểm của AC nên Q là trung điểm của AM.
Vậy B, Q, K thẳng hàng.

e) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng tứ giác MAKC là hình chữ nhật. Vì CK là trung trực của IH nên góc CHI = 90 độ.
Vì I là trung điểm của AC nên góc CMI = góc ICH.
Vậy góc CHI = góc ICH.
Vậy HI là tia phân giác góc CHK.

f) Để tứ giác AMCK là hình vuông, ta cần và đủ có điều kiện MA = MC và góc AMC = 90 độ.
Vì tam giác ABC cân tại A nên MA = MC.
Vậy để tứ giác AMCK là hình vuông, ta cần và đủ có góc AMC = 90 độ.