Để chứng minh rằng A không phải là bình phương của bất kỳ số tự nhiên nào, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử A là bình phương của một số tự nhiên k, tức là A = k^2.

Ta có: A = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) + 2

Đặt B = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), ta có A = B + 2.

Khi đó, ta có: B = A - 2 = k^2 - 2.

Để chứng minh rằng B không phải là bình phương của bất kỳ số tự nhiên nào, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược một lần nữa.

Giả sử B là bình phương của một số tự nhiên m, tức là B = m^2.

Ta có: B = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5).

Đặt C = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), ta có B = C.

Khi đó, ta có: C = B = m^2.

Để chứng minh rằng C không phải là bình phương của bất kỳ số tự nhiên nào, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược một lần nữa.

Giả sử C là bình phương của một số tự nhiên p, tức là C = p^2.

Ta có: C = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5).

Đặt D = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), ta có C = D.

Khi đó, ta có: D = C = p^2.

Tiếp tục quá trình này, ta sẽ thu được một chuỗi các biểu thức D, E, F,..., mỗi biểu thức là bình phương của một số tự nhiên.

Tuy nhiên, ta biết rằng không thể có một chuỗi vô hạn các bình phương liên tiếp nhau, vì các bình phương liên tiếp nhau sẽ có khoảng cách ngày càng lớn.

Do đó, giả sử ngược ban đầu là sai.

Vậy ta kết luận rằng A không phải là bình phương của bất kỳ số tự nhiên nào.