Chứng minh tam giác IBC cân

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, H là trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của AB, ta có AM = MB.

Vì I là điểm thuộc đoạn thẳng AH, nên AI = IH.

Mà AH = 2HM (vì H là trung điểm của BC), nên AI = 2IM.

Do đó, tam giác IBC cân tại I.

b) Ta có tam giác IBC cân tại I, nên IB = IC.

Gọi D là giao điểm của tia BI và AC, E là giao điểm của tia CI và AB.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC, ta có:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AI}{IB} = 1$

Vì tam giác IBC cân, nên IB = IC, nên ta có:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AI}{IC} = 1$

Mà AI = IH (vì tam giác IBC cân), nên ta có:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{IH}{IC} = 1$

Vì H là trung điểm của BC, nên $\frac{IH}{IC} = 1$, nên ta có:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

Từ đó, ta suy ra $\frac{BD}{DC} = \frac{EA}{CE}$.

Vì tam giác ABC cân, nên ta có AM = MB, nên ta cũng có:

$\frac{BD}{DC} = \frac{EA}{EC}$

Từ đó, ta suy ra BD = EA.

c) Ta có BD = EA (vì tam giác IBC cân và tam giác ABC cân), nên ta có:

$\frac{BD}{EA} = 1$

Áp dụng định lí Thales cho tam giác BDI và tam giác AEI, ta có:

$\frac{BI}{IA} = \frac{BD}{DE}$ và $\frac{AI}{IE} = \frac{EA}{DE}$

Vì tam giác IBC cân, nên ta có:

$\frac{BI}{IA} = \frac{BC}{CA}$

Vì tam giác ABC cân, nên ta có:

$\frac{AI}{IE} = \frac{AC}{CB}$

Từ đó, ta có:

$\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{CB}$

Do đó, ta suy ra $\frac{BI}{IA} = \frac{AI}{IE}$.

Vì vậy, ta có BI = AI và IA = IE.

Từ đó, ta suy ra AH // DE.