Chứng ming rằng: BC / ID + AC / IE = AB / IF

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua điểm I, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

Vì D, E cùng phía so với I, nên $\frac{BD}{DC} > 1$ và $\frac{CE}{EA} > 1$. Do đó, $\frac{AF}{FB} < 1$.

Từ đó, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{FB}{AF} < 1$

Tương đương với:
$\frac{BD}{DC} + \frac{CE}{EA} < \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} + 1$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua điểm I, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

Từ đó, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} + 1 = \frac{AF}{FB} + 1$

Tương đương với:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} + 1 = \frac{AB}{FB}$

Từ đó, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} + 1 = \frac{AB}{FB} = \frac{AB}{IF}$

Từ đó, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} + 1 = \frac{AB}{IF}$

Từ đó, ta có:
$\frac{BC}{DC} + \frac{AC}{EA} = \frac{AB}{IF}$

Từ đó, ta có:
$\frac{BC}{ID} + \frac{AC}{IE} = \frac{AB}{IF}$

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.