Cho tam giác ABC cân tại A ( AB < AC), đường cao AH . Gọi M là trung điểm của AB . Gọi D là điểm đối xứng của H qua M

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và các tính chất của hình chữ nhật và hình bình hành.

a) Chứng minh: Tứ giác AHBD là hình chữ nhật.
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, M là trung điểm của AB.
- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Khi đó, ta có AH vuông góc với AB và AH vuông góc với BD.
- Vì M là trung điểm của AB, nên ta có BM = MA. Do đó, ta có BM = MA = MD.
- Vì BM = MD và AH vuông góc với BD, nên ta có tứ giác AHBD là hình chữ nhật.

b) Chứng minh: AHDE là hình bình hành.
- Gọi E' là điểm đối xứng của E qua H. Ta cần chứng minh E' = D.
- Vì H là trung điểm của BE, nên ta có HE = EH'.
- Vì E' là điểm đối xứng của E qua H, nên ta có HE' = EH.
- Từ hai điều trên, ta suy ra HE = EH' = EH.
- Vì AH vuông góc với BD và HE = EH, nên ta có AH vuông góc với DE và AH = HD.
- Vì AH = HD và AH vuông góc với DE, nên ta có tứ giác AHDE là hình bình hành.

c) Chứng minh: AH = HF.
- Vì AHDE là hình bình hành, nên ta có AH = DE.
- Vì EF vuông góc với AC và HK vuông góc với AC, nên ta có EF || HK.
- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với AC. Khi đó, ta có AH vuông góc với EF và AH vuông góc với HK.
- Vì EF || HK và AH vuông góc với cả EF và HK, nên ta có AH vuông góc với HK.
- Vì AH vuông góc với HK và AH = DE, nên ta có AH = HF.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần a), b) và c) của bài toán.