Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau

a) Ta có:
- Vì AB vuông góc với CD nên tam giác ABC vuông tại A.
- Từ đó, ta có: ∠ACB = 90°.
- Vì ∠ACB = 90° và ∠CAB = 90° (do AB vuông góc với CD), nên tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên AM và AN là đường cao của tam giác ACB và CAB.
- Vậy, ta có: AM ⊥ CB và AN ⊥ CA.
- Vì AM ⊥ CB và AN ⊥ CA, nên AM // AN (do hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau).
- Gọi I là giao điểm của CM và AB. Ta có: ∠CIA = 90° (do IA vuông góc với AB).
- Vì ∠CIA = 90°, nên tam giác CIA vuông tại I.
- Vậy, ta có: CI ⊥ IA.
- Vì CI ⊥ IA và AM ⊥ CB, nên CI // AM (do hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau).
- Gọi Q' là giao điểm của CI và AN. Ta có: ∠CQ'I = 90° (do Q'I vuông góc với CI).
- Vì ∠CQ'I = 90°, nên tam giác CQ'I vuông tại Q'.
- Vậy, ta có: CQ' ⊥ Q'I.
- Vì CQ' ⊥ Q'I và CI ⊥ IA, nên CQ' // AM (do hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau).
- Vậy, ta có: CQ' // AM // AN.
- Vì CQ' // AM // AN, nên ta có tứ giác DQ'PN nội tiếp và PQ' // AB.
- Nhưng ta đã gọi Q là giao điểm của AN và CD, nên Q = Q'.
- Vậy, ta có tứ giác DQPN nội tiếp và PQ // AB.

b) Ta có:
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: AC = BC và CA = CB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠ACB = ∠CAB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠CBA = ∠CAB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠ABC = ∠ACB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠BAC = ∠CBA.
- Vậy, ta có: tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB.
- Vì tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB, nên ta có: ∠ACB = ∠CAB, ∠CBA = ∠BAC và ∠ABC = ∠ACB.
- Vì ∠ACB = ∠CAB, ∠CBA = ∠BAC và ∠ABC = ∠ACB, nên tam giác ACB và CAB là tam giác đồng dạng.
- Vậy, ta có: tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB.
- Vì tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB, nên ta có: AC/CA = BC/CB.
- Vì AC = BC và CA = CB, nên ta có: AC/CA = BC/CB = 1.
- Vậy, ta có: AC/CA = BC/CB = 1.
- Vì AC/CA = BC/CB = 1, nên tam giác ACB và CAB đồng dạng theo tỉ số 1:1.
- Vậy, ta có: tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB theo tỉ số 1:1.
- Vì tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB theo tỉ số 1:1, nên diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M thay đổi trên OB.

c) Ta có:
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: AC = BC và CA = CB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠ACB = ∠CAB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠CBA = ∠CAB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠ABC = ∠ACB.
- Vì tam giác ACB và CAB là tam giác vuông cân, nên ta có: ∠BAC = ∠CBA.
- Vậy, ta có: tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB.
- Vì tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB, nên ta có: ∠ACB = ∠CAB, ∠CBA = ∠BAC và ∠ABC = ∠ACB.
- Vì ∠ACB = ∠CAB, ∠CBA = ∠BAC và ∠ABC = ∠ACB, nên tam giác ACB và CAB là tam giác đồng dạng.
- Vậy, ta có: tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB.
- Vì tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB, nên ta có: AC/CA = BC/CB.
- Vì AC = BC và CA = CB, nên ta có: AC/CA = BC/CB = 1.
- Vậy, ta có: AC/CA = BC/CB = 1.
- Vì AC/CA = BC/CB = 1, nên tam giác ACB và CAB đồng dạng theo tỉ số 1:1.
- Vậy, ta có: tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB theo tỉ số 1:1.
- Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CQN. Ta cần chứng minh O' nằm trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên OB.
- Gọi I' là giao điểm của CO' và AB. Ta cần chứng minh I' nằm trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên OB.
- Vì tam giác ACB đồng dạng với tam giác CAB theo tỉ số 1:1, nên ta có: AC/CA = BC/CB = AI'/I'B.
- Vì AC/CA = BC/CB = AI'/I'B, nên ta có: AI'/I'B = 1.
- Vậy, ta có: AI' = I'B.
- Vì AI' = I'B, nên I' là trung điểm của AB.
- Vậy, ta có: I' nằm trên đường thẳng AB.
- Vì I' nằm trên đường thẳng AB, nên O' cũng nằm trên đường thẳng AB (vì O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CQN và I' là giao điểm của CO' và AB).
- Vậy, ta có: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CQN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên OB.