Cho 3 điểm phân biệt A,B,C thuộc đường thẳng d ( B nằm giữa A và C ) I là trung điểm BC

a) Ta có:
- A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.
- I là trung điểm BC.
- Đường tròn (O) có tâm O và đi qua B, C.
- M, N là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C.
- MN cắt AO tại H và BC tại K.

Ta cần chứng minh MN luôn đi qua điểm K cố định khi đường tròn (O) thay đổi.

Gọi D là giao điểm của AO và BC. Ta có:
- Vì I là trung điểm BC nên AD song song với MN (do cùng vuông góc với BC).
- Vì M, N là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên BM = CN (cung cấp bởi tính chất tiếp tuyến).
- Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên AD = DC.

Do đó, ta có tứ giác ACDM là hình bình hành.

Áp dụng định lí Pappus, ta có: MN cắt AD tại H, BC tại K và CM cắt AD tại I thì ta có điểm K, H, I thẳng hàng.

Vậy, MN luôn đi qua điểm K cố định khi đường tròn (O) thay đổi.

b) Ta có:
- Tia AO cắt đường tròn (O) tại P và Q, trong đó P nằm giữa O và A.
- D là trung điểm HQ.
- H kẻ đường thẳng vuông góc với MD và cắt MP tại E.

Ta cần chứng minh P là trung điểm ME.

Do P nằm trên đường tròn (O) nên OP = OQ (bởi tính chất đường kính).

Vì D là trung điểm HQ nên MD song song với PE (do cùng vuông góc với HQ).

Áp dụng định lí Thales, ta có: OP/OM = OQ/ON = 1/2.

Do đó, ta có tứ giác OPNE là hình bình hành.

Vậy, P là trung điểm ME.