Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H thuộc BC)

a. Ta có tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA. Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc BAH = góc CAH. Từ đó suy ra góc AHB = góc AHC. Vậy tam giác AHB = tam giác AHC.

b. Gọi E là giao điểm của tia đối của tia HA với BC. Ta có HA = HD (theo đề bài). Khi đó, tam giác HAD cân tại H, nên góc HDA = góc HAD. Nhưng góc HAD = góc BAC (vì tam giác ABC cân tại A). Vậy góc HDA = góc BAC.

Do đó, tam giác HDA = tam giác BAC (cùng có 1 góc bằng và 2 cạnh bằng nhau). Từ đó suy ra AB // DC (theo định lý cạnh bằng cạnh của tam giác đồng dạng).

c. Gọi E là giao điểm của tia phân giác BE với AD, F là giao điểm của tia phân giác CF với AD. Ta cần chứng minh H là trung điểm của EF.

Ta có góc BAE = góc BAC/2 (vì BE là tia phân giác góc ABC). Tương tự, góc CAF = góc BAC/2 (vì CF là tia phân giác góc BCD).

Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA. Từ đó suy ra góc BAE = góc CAF.

Do đó, tam giác BAE = tam giác CAF (cùng có 1 góc bằng và 2 cạnh bằng nhau). Từ đó suy ra AE = AF.

Vì H là trung điểm của BC (do tam giác ABC cân tại A), nên AH = HC. Khi đó, tam giác AHC = tam giác HCE (cùng có 2 cạnh bằng nhau).

Từ đó suy ra góc HCE = góc HAC = góc BAE. Nhưng góc HCE = góc HAE (vì tam giác HAE cân tại H). Vậy góc HAE = góc BAE.

Do đó, tam giác HAE = tam giác BAE (cùng có 1 góc bằng và 2 cạnh bằng nhau). Từ đó suy ra HE = EA.

Vậy H là trung điểm của EF (do H là trung điểm của BC và HE = EA).