Chửng minh rằng: A=x^2-x^9-x^1945 chia hết cho B=x^2-x+1

Để chứng minh rằng A chia hết cho B, ta cần chứng minh rằng phép chia A cho B có dư là 0.

Ta có thể sử dụng định lý chia đa thức để chứng minh điều này. Định lý chia đa thức nói rằng nếu chia một đa thức A(x) cho một đa thức B(x) có bậc nhỏ hơn, ta có thể viết A(x) dưới dạng:

A(x) = Q(x) * B(x) + R(x)

Trong đó, Q(x) là đa thức thương, B(x) là đa thức chia, R(x) là đa thức dư.

Ứng dụng định lý chia đa thức vào bài toán này, ta có:

A(x) = (x^2 - x^9 - x^1945) = Q(x) * (x^2 - x + 1) + R(x)

Ta cần chứng minh rằng R(x) = 0, tức là A(x) chia hết cho B(x) mà không có dư.

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Giả sử R(x) khác 0, tức là A(x) không chia hết cho B(x).

Giả sử R(x) khác 0, tức là A(x) không chia hết cho B(x). Khi đó, bậc của R(x) phải nhỏ hơn bậc của B(x), tức là bậc của R(x) là 0 hoặc 1.

Nếu bậc của R(x) là 0, tức là R(x) là một hằng số, ta có thể viết R(x) = c, với c là một số thực.

Thay R(x) = c vào phương trình A(x) = Q(x) * B(x) + R(x), ta có:

x^2 - x^9 - x^1945 = Q(x) * (x^2 - x + 1) + c

So sánh các hệ số của cùng một bậc trong cả hai vế của phương trình, ta có:

- Hệ số của x^2: 1 = Q(x)
- Hệ số của x^9: 0 = -Q(x)
- Hệ số của x^1945: 0 = Q(x)
- Hệ số của x^0: 0 = c

Từ đó, ta suy ra Q(x) = 1 và c = 0. Điều này có nghĩa là R(x) = 0, tức là A(x) chia hết cho B(x) mà không có dư.

Nếu bậc của R(x) là 1, tức là R(x) = mx + n, với m và n là các số thực.

Thay R(x) = mx + n vào phương trình A(x) = Q(x) * B(x) + R(x), ta có:

x^2 - x^9 - x^1945 = Q(x) * (x^2 - x + 1) + mx + n

So sánh các hệ số của cùng một bậc trong cả hai vế của phương trình, ta có:

- Hệ số của x^2: 1 = Q(x)
- Hệ số của x^9: 0 = -Q(x)
- Hệ số của x^1945: 0 = Q(x)
- Hệ số của x^1: -1 = m
- Hệ số của x^0: 0 = n

Từ đó, ta suy ra Q(x) = 1, m = -1 và n = 0. Điều này có nghĩa là R(x) = -x, tức là A(x) không chia hết cho B(x) vì còn dư -x.

Vì đã tìm được một trường hợp mà A(x) không chia hết cho B(x), ta kết luận rằng A(x) không chia hết cho B(x).

Vậy, ta đã chứng minh rằng A = x^2 - x^9 - x^1945 không chia hết cho B = x^2 - x + 1.