a) Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên EF là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, EF có độ dài bằng một nửa độ dài đường chéo AC, tức là EF = 1/2 * AC.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có đẳng thức Pythagoras: BC^2 = AB^2 + AC^2. Thay BC = 6cm vào đẳng thức trên, ta có: 6^2 = AB^2 + AC^2.

Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên AB = 2 * AE và AC = 2 * AF. Thay vào đẳng thức trên, ta có: 6^2 = (2 * AE)^2 + (2 * AF)^2.

Simplifying the equation: 36 = 4 * (AE^2 + AF^2).

Vì AE = EF và AF = EF, nên ta có: 36 = 4 * (EF^2 + EF^2) = 8 * EF^2.

Dividing both sides by 8, we get: EF^2 = 36/8 = 4.

Taking the square root of both sides, we get: EF = 2 cm.

Vậy EF = 2 cm.

b) Tứ giác BEFH là hình bình hành. Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên EF song song và bằng một nửa đường chéo BC. Hơn nữa, vì H là trung điểm của BC, nên BH = HC. Do đó, BEFH là hình bình hành.

c) Ta có I là trung điểm FC, nên EI song song và bằng một nửa đường chéo BC. Vì O là giao điểm của EH và BF, nên theo định lí Thales, ta có: EO/OF = EH/HB.

Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên EO = OF và EH = HB. Thay vào đẳng thức trên, ta có: EO/EO = EH/HB.

Simplifying the equation, we get: 1 = 1.

Vậy BF đi qua trung điểm EI.

d) Gọi Q là giao điểm của FH và OI. M là trung điểm OQ, nên OM song song và bằng một nửa đường trung bình QF. N là trung điểm EF, nên ON song song và bằng một nửa đường trung bình QF.

Vì Q là giao điểm của FH và OI, nên theo định lí Thales, ta có: QF/FH = OI/IF.

Vì F là trung điểm AC và I là trung điểm FC, nên QF = FH và OI = IF. Thay vào đẳng thức trên, ta có: QF/FH = OI/IF = 1.

Vậy QF = FH.

Vì M là trung điểm OQ, nên OM = MQ. Vì N là trung điểm EF, nên ON = NE.

Vì QF = FH, nên QF = 2 * FM.

Vì QF = 2 * FM và OM = MQ, nên QF = 2 * OM.

Vì QF = 2 * OM và ON = NE, nên QF = 2 * ON.

Vậy QF = 2 * FM = 2 * OM = 2 * ON.

Vì M và N lần lượt là trung điểm OQ và EF, nên ta có: HM = MN = NF.

Vậy H, M, N là ba điểm thẳng hàng.