Cho tam giác ABC vuông tại A (AB; AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Trên đường vuông góc với AB tại B lấy điểm E sao cho BE = AD (E và C nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB)..

1) Tam giác CDE là tam giác vuông tại C.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có AC^2 + BC^2 = AB^2.
Vì BD = AC, nên ta có BC^2 + BD^2 = CD^2.
Từ hai phương trình trên, suy ra AC^2 + BD^2 = CD^2.
Vì AD = BE, nên ta có AC^2 + AD^2 = DE^2.
Từ hai phương trình trên, suy ra CD^2 = DE^2.
Vậy tam giác CDE là tam giác vuông tại C.

2) Ta có CF = AD và AC = BD, nên tam giác CDF và tam giác ADB là tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có CD/AD = DF/BD.
Vì AD = BE và BD = AC, nên ta có CD/BE = DF/AC.
Vậy tam giác CDF và tam giác CBE là tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có CF/CE = DF/DE.
Vì tam giác CDE là tam giác vuông tại C, nên ta có DE = CD.
Vậy CF/CE = DF/CD.
Từ đó, suy ra tam giác CFE và tam giác CDF là tam giác đồng dạng.
Vậy góc COF = góc CDF = 45°.

3) a) Ta có FCO = OCP (do FCO = OCP = 45°).
Vì COF = 45°, nên ta có góc FOC = 180° - 45° - 45° = 90°.
Vậy tam giác FOC là tam giác vuông tại O.
Do đó, ta có góc FHO = góc FCO/2 = 45°/2 = 22.5°.
Vậy HO là tia phân giác của góc FHP.

b) Ta có OH = OC (vì tam giác FOC là tam giác vuông tại O).
Ta cần chứng minh HF + CF < OH + OC.
Ta có HF = HP + PF và CF = CO + OF.
Vậy ta cần chứng minh HP + PF + CO + OF < OH + OC.
Ta có HP + PF + CO + OF = HP + PF + CO + OC (vì OF = OC).
Ta cần chứng minh HP + PF + CO + OC < OH + OC.
Ta có OH = OC (vì tam giác FOC là tam giác vuông tại O).
Ta cần chứng minh HP + PF + CO < OC.
Ta có HP + PF + CO = HP + PF + CF (vì CO = CF).
Ta cần chứng minh HP + PF + CF < OC.
Ta có HP + PF + CF = HF (vì HP + PF = HF).
Ta cần chứng minh HF < OC.
Ta đã chứng minh trong câu a) rằng HO là tia phân giác của góc FHP.
Vậy ta có góc FHO = góc FHP/2.
Vì góc FHO = 22.5°, nên góc FHP = 45°.
Vậy HF = OC.
Vậy ta có HF < OC.
Vậy ta có OH + OC > HF + CF.