Cho hình vuông ABCD lấy M trên đường chéo AC (AM; MC). Kẻ MI vuông góc với AD (I thuộc AD). Gọi P, N lần lượt là điểm đối xứng của M và A qua I.

a) Tứ giác AMNP là hình vuông.

Đầu tiên, ta có MP || AD và MP = AD (do P là điểm đối xứng của A qua I), nên tam giác MPD là tam giác cân tại M.

Tiếp theo, ta có MN || AB và MN = AB (do N là điểm đối xứng của A qua I), nên tam giác MNB là tam giác cân tại M.

Vì tam giác MPD và tam giác MNB cùng có cạnh chung là MN, nên chúng là hai tam giác cân cùng có cạnh chung, do đó chúng là hai tam giác đồng dạng.

Vậy, ta có AM/MP = MB/MN, suy ra AM = MB và MP = MN.

Do đó, tứ giác AMNP là tứ giác có cạnh bằng nhau và hai đường chéo vuông góc nhau, nên nó là hình vuông.

b) Ta có AM = MB (vì tứ giác AMNP là hình vuông) và AI là đường cao của tam giác AMD, nên ta có diện tích tam giác AMD bằng diện tích tam giác BMD.

Vì diện tích tam giác AMD bằng 1/2 * AD * MI và diện tích tam giác BMD bằng 1/2 * BM * MI, nên ta có:

1/2 * AD * MI = 1/2 * BM * MI

Simplifying, ta có AD = BM.

Vậy, ta có BM = PD.

c) Ta đã chứng minh BM = PD ở câu b), nên ta có BP là đường phân giác của góc MDB.

Vì MP || AD, nên góc MDB = góc MDP.

Vậy, ta có góc MDB = góc MDP, suy ra tam giác MDP là tam giác cân tại D.

Do đó, ta có MD = DP.

Vì MD = DP và BM = PD, nên ta có MD = DP = BM.

Vậy, ta có tam giác MDC là tam giác đều.

Vì tam giác MDC là tam giác đều, nên ta có góc MDC = 60 độ.

Vì MP || AD, nên góc MDC = góc NDC.

Vậy, ta có góc NDC = 60 độ.

Vì góc NDC = 60 độ, nên ta có tam giác NDC là tam giác đều.

Vậy, ta có tam giác NDC là tam giác đều, suy ra điểm C, Q và N thẳng hàng.