a) Xét  ΔABC có:
AK = KC =AC/2 (gt) ; HB = HC =BC/2(gt)
=> HK là đg t.bình của ΔABC => HK//AB
=> ABHK là hình thang     (đpcm)
b) Ta có:
Xét tứ giác ABEC ta có:
 AE ⊥ BC ( trong tam giác cân đg trung tuyến vùa là đg cao)
HB =HC =BC/2 ​(gt) và AH = HE =AE/2 (gt)
==> ABEC là hình thoi ( d.h.n.b )Ta có:
 c/BH⊥AH (gt)
 AD⊥AH (gt)
==>AD//BH   (1)
 Ta có:
HK//AB (cmt) mà D ∈ HK => HD//AB   (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ADBH là h.b.h ( d.h.n.b )     ( đpcm )
 Ta có:  +)  ADBH là h.b.h =>AD=BH ( 2 cạnh đối ) mà HB=HC (gt)
==>AD=HC    (3)
                +) AD//BH mà C ∈HB => AD//HC  (4)
 Từ (3) và (4) suy ra:
  ADCH là h.b.h lại có góc H = 90 °
==> ADCH là h.c.n   ( đpcm )
Gọi O là t.điểm của HN và I là t.điểm của AN (gt) => IO là đg t.bình của ΔIBH
==>IO //AH
+) Xét ΔIBH có đg cao HN và IO cắt tại O nên O là trực tâm của ΔIBH
==> BO là đg cao của ΔIBH ( 5 )
Xét ΔMNH có: BM=BH=MH/2 (gt) ; (gt)
==> BO là đg trung bình của ΔMNH ==>BO//MN (6)
Từ ( 5 ) và (6) suy ra MN⊥IH (đpcm)