Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB tại P, cắt AC tại Q

a) Ta có:
- Vì M là trung điểm BC nên BM = CM.
- Gọi I là giao điểm của HP và MH. Ta có: HP ⊥ MH nên ∠HPM = 90°.
- Gọi K là giao điểm của AH và BC. Ta có: AH ⊥ BC nên ∠AHK = 90°.
- Ta có: ∠HMI = ∠HKI = 90° nên H, M, K, I cùng thuộc một đường tròn đường kính HM.
- Vì ∠HPM = ∠HMI = 90° nên HP // MI.
- Vì ∠AHK = ∠HMI = 90° nên AH // MI.
- Vậy ta có HP // AH và HP/MH = AH/MI.
- Ta có: MI = MC - IC = MC - BC/2 = MC - BM/2 = MC - CM/2 = CM/2.
- Vậy HP/MH = AH/MI = AH/(CM/2) = 2AH/CM.
b) Ta có:
- Vì HP // AH nên ∠HPA = ∠AHP.
- Vì HP // AH nên ∠HPQ = ∠AHQ.
- Vậy ta có ∆HPA ≡ ∆HQD (cùng có 1 góc vuông và 1 cạnh chung).
- Vậy HP = HQ.