Để chứng minh các phần A, B và C, chúng ta sẽ sử dụng định lí đường cao trong tam giác.

Định lí đường cao trong tam giác: Trong tam giác nhọn ABC, đường cao từ đỉnh A cắt đường BC tại E, đường cao từ đỉnh B cắt đường AC tại F, đường cao từ đỉnh C cắt đường AB tại H. Khi đó:
A) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
B) Tứ giác BEFC nội tiếp.
C) AE.AC = AF.AB.

Chứng minh:
A) Để chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh góc EHF = 180° - góc EAF.
Gọi góc EAF là α.
Ta có:
góc EHF = 180° - góc BHC (do EHF là góc ngoài của tam giác BHC)
= 180° - (180° - α) (do tổng các góc trong tam giác BHC bằng 180°)
= α.
Vậy góc EHF = 180° - góc EAF, từ đó suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

B) Để chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp, ta cần chứng minh góc BEC = góc BFC.
Gọi góc BEC là β và góc BFC là γ.
Ta có:
góc BEC = 180° - góc AEC (do BEC là góc ngoài của tam giác AEC)
= 180° - (180° - β) (do tổng các góc trong tam giác AEC bằng 180°)
= β.
góc BFC = 180° - góc AFC (do BFC là góc ngoài của tam giác AFC)
= 180° - (180° - γ) (do tổng các góc trong tam giác AFC bằng 180°)
= γ.
Vậy góc BEC = góc BFC, từ đó suy ra tứ giác BEFC nội tiếp.

C) Để chứng minh AE.AC = AF.AB, ta sử dụng tỷ lệ đường cao trong tam giác.
Gọi đường cao từ đỉnh A xuống đường BC là hA, đường cao từ đỉnh B xuống đường AC là hB, đường cao từ đỉnh C xuống đường AB là hC.
Theo định lí đường cao trong tam giác, ta có:
AE/AF = hA/hB (1)
AC/AB = hC/hB (2)
Từ (1) và (2), ta có:
AE.AC/AF.AB = (hA/hB) * (hC/hB) = (hA*hC)/(hB^2)
Vì hA*hC = hB^2 (do đường cao trong tam giác), nên:
AE.AC/AF.AB = 1
=> AE.AC = AF.AB
Vậy ta đã chứng minh được AE.AC = AF.AB.