Với điều kiện \( OA = 2R \), ta biết rằng điểm \( A \) nằm ở bên ngoài đường tròn với tâm \( O \) và bán kính \( R \), và khoảng cách từ \( A \) đến \( O \) là \( 2R \).

Điểm \( A \) nằm trên đường thẳng đi qua tâm \( O \) và \( A \), nên nó sẽ nằm trên đường tròn mở rộng của \( (O;R) \) ở phía bên kia tâm \( O \).

Vậy, vị trí của điểm \( A \) sẽ nằm trên đường thẳng \( OA \), phía bên kia điểm \( O \) so với đường tròn, và cách \( O \) một khoảng bằng \( 2R \).

Do đó, điểm \( A \) nằm ở ngược chiều với điểm \( O \) so với đường tròn, và khoảng cách từ điểm \( A \) đến tâm \( O \) là \( 2R \).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học:

1. Đường tiếp tuyến đến đường tròn tại một điểm nào đó là vuông góc với đường tiếp tuyến từ tâm của đường tròn tới điểm đó.
2. Góc nội tiếp tại một cung bằng góc ngoại tiếp tại cùng một cung.
3. Góc giữa một tiếp tuyến và một dây cung bằng góc ngoài tiếp tại cùng một dây cung.
4. Góc giữa hai tiếp tuyến từ một điểm bên ngoài đến đường tròn bằng một nửa chênh lệch hai cung mà chúng cắt.

Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng các tính chất này vào bài toán:

1. Do \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến, nên ta có \(OB \perp AB\) và \(OC \perp AC\).
2. \(BC\) là dây cung nên góc \(BOC\) là góc ở tâm tương ứng, tức \(BOC = 2\angle BAC\).
3. Tương tự, góc \(BNC\) cũng bằng góc ở tâm tương ứng với góc \(BAC\), nghĩa là \(BNC = 2\angle BAC\).
4. \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) (do \(AB\) và \(AC\) là tiếp tuyến nên góc \(BAC\) là góc vuông), nên góc \(ABC = 90^\circ\).
5. Với cung \(BC\), ta có \(m\angle BOC = 2m\angle BAC\), nên \(m\angle BOC = 2 \times 45^\circ = 90^\circ\).

Vậy, số đo các góc là:
- \(m\angle BOC = 90^\circ\)
- \(m\angle BNC = 2 \times 45^\circ = 90^\circ\)
- \(m\angle ABC = 90^\circ\)
- Số đo cung \(BC = 2 \times 45^\circ = 90^\circ\).