B1: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, ta cần có \( \Delta > 0 \) và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

Ta có \( \Delta = (4m+1)^2 - 4 \cdot 4m = 16m^2 + 8m + 1 - 16m = 16m^2 + 8m + 1 \)

Để \( \Delta > 0 \), ta có \( 16m^2 + 8m + 1 > 0 \)

Để nghiệm dương có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, ta có \( \frac{-b}{2a} > 0 \) và \( \frac{-c}{a} < 1 \)

Giải hệ phương trình ta được \( m > -\frac{1}{2} \) và \( m < \frac{1}{4} \)

Vậy, tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn là \( m \in \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \)

B2*: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3, ta cần có \( \Delta > 0 \) và nghiệm thỏa mãn điều kiện \( |x_1 - x_2| < 3 \)

Ta có \( \Delta = 16 - 4 \cdot 2 \cdot (m-1) = 16 - 8m + 8 = 24 - 8m \)

Để \( \Delta > 0 \), ta có \( 24 - 8m > 0 \) hay \( m < 3 \)

Để \( |x_1 - x_2| < 3 \), ta có \( |2x_1 - 2x_2| < 6 \) hay \( |2(x_1 - x_2)| < 6 \) hay \( |2 \cdot \frac{-b}{a}| < 6 \)

Giải hệ phương trình ta được \( m > \frac{3}{2} \)

Vậy, m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 là \( m \in \left( \frac{3}{2}, 3 \right) \)

B3: Ta có \( A = x_1^2 + x_2^2 - 6x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \)

Áp dụng công thức Viète, ta có \( x_1 + x_2 = -(2m-1) \) và \( x_1x_2 = -m \)

Thay vào công thức ta được \( A = (2m-1)^2 + 4m = 4m^2 - 4m + 1 + 4m = 4m^2 + 1 \)

Để \( A \) có giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( 4m^2 \)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 1 \) khi \( m = 0 \)