Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M bất kì nằm trên nửa đường tròn

a) Ta có: $\widehat{AMD} = \widehat{ABD}$ (cùng chắn cung AM trên cùng đường tròn) và $\widehat{ABD} = \widehat{AOD}$ (cùng chắn cung AD trên cùng đường tròn). Do đó, $\widehat{AMD} = \widehat{AOD}$, suy ra 4 điểm A, D, M, O cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có: $\widehat{ABD} = \widehat{AMD}$ (cùng chắn cung AM trên cùng đường tròn) và $\widehat{ABD} = \widehat{BCD}$ (cùng chắn cung BD trên cùng đường tròn). Do đó, $\widehat{AMD} = \widehat{BCD}$, suy ra tam giác AMD và BCD đồng dạng.

Từ đó, ta có: $\frac{AD}{BC} = \frac{AM}{BD} = \frac{AM}{AB}$.

Vậy, $AD \cdot BC = AM \cdot AB = AB^2/2$.

c) Ta có: $\widehat{MKN} = \widehat{MAB}$ (cùng chắn cung MK trên cùng đường tròn) và $\widehat{MAB} = \widehat{MKB}$ (cùng chắn cung MK trên cùng đường tròn). Do đó, $\widehat{MKN} = \widehat{MKB}$, suy ra tam giác MNK đồng dạng với tam giác MAB.

Vậy, N là trung điểm của MK.

Vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.