a, Ta có $\angle BID = \angle BCD$ (do $BD$ là phân giác của $\angle B$) và $\angle IBD = \angle ICB$ (cùng chắn cung $IB$), nên tam giác $IBC$ cân tại $I$.

b, Ta có $\angle BID = \angle BCD$ và $\angle CIE = \angle CBE$ (do $CE$ là phân giác của $\angle C$), nên tam giác $BID$ đồng dạng với tam giác $CIE$. Từ đó suy ra $\frac{BD}{CE} = \frac{ID}{IE}$. Nhưng ta cũng có $\angle BID = \angle CIE$ (cùng bằng $\angle BCD$), nên tam giác $BID$ cũng đồng dạng với tam giác $CIE$. Từ đó suy ra $\frac{BD}{CE} = \frac{ID}{IE} = \frac{IB}{IC}$. Do tam giác $IBC$ cân nên $IB = IC$, suy ra $BD = CE$.

c, Ta có $\angle ADE = \angle ADB + \angle BDE = \angle ADB + \angle BDC = \angle ADC$. Vậy tam giác $ADE$ là tam giác cân tại $A$.

d, Ta có $\angle EDC = \angle EIC$ (cùng bằng $\angle BCD$) và $\angle CED = \angle CEB$ (do $CE$ là phân giác của $\angle C$), nên tam giác $CED$ đồng dạng với tam giác $CEB$. Từ đó suy ra $\angle CED = \angle CEB = \angle C$ (do $CE$ là phân giác của $\angle C$), tức là $ED$ song song với $DC$.