Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng đó (M khác A, B)

Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí về hình vuông, đối xứng và các đường phân giác trong tam giác.

1. Chứng minh NC là đường phân giác trong của tam giác ABC:
Ta có hai tam giác vuông AMN và BNM.
Vì AMCD và BMEF là hai hình vuông nên ta có:
- \( \angle MAN = \angle MNA = 90^\circ \)
- \( \angle BNM = \angle BMN = 90^\circ \)
Vậy ta có \( \angle MAN = \angle BNM \) nên tam giác AMN và BNM đồng dạng.
Do đó, ta có \( \frac{NA}{NB} = \frac{AM}{BM} = \frac{AD}{BE} = \frac{AC}{BC} \) (do \( AD \parallel BE \))
Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có NC là đường phân giác trong của tam giác ABC.

2. Chứng minh BN vuông góc với AE và tam giác ONI là tam giác vuông:
Ta có \( \angle ANB = \angle AMB = 90^\circ \) (do AMCD và BMEF là hình vuông)
Vậy BN vuông góc với AE.
Vì O và I lần lượt là tâm của AMCD và BMEF nên ta có \( ON \parallel AC \) và \( NI \parallel BE \).
Do đó, ta có \( \angle ONI = \angle ACB = 90^\circ \) nên tam giác ONI là tam giác vuông.

3. Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất:
Gọi x là độ dài của AM, y là độ dài của MB.
Ta có MN = x + y.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC, ta có:
\( AC + CB > AB \)
\( x + y + AC + CB > x + y \)
\( x + AC + y + CB > x + y \)
\( AC + x > CB + y \)
Vậy để MN có độ dài lớn nhất, ta cần chọn M sao cho \( AC = CB \) hay M là trung điểm của AB.