Chotam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng hai lần góc ACB, kẻ đường cao AH

a, Ta có:
$\angle ABC = 2\angle ACB$
$\angle ABC + \angle ACB = 90^\circ$
$\angle ABC = 60^\circ$
$\angle ACB = 30^\circ$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $AH$ là đường cao và $AH$ là đường phân giác của góc $\angle BAC$ nên tam giác $ABH$ cũng vuông tại H.

Do đó, tam giác $ABH$ cũng là tam giác đều với $\angle ABH = 90^\circ$, $\angle BAH = 60^\circ$ và $\angle BHA = 30^\circ$.

Vậy ta có $HD = HB = \frac{1}{2}AB$.

Xét tam giác vuông $ACD$, ta có:
$\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - \angle BAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$
$\angle CAD = \angle BAH = 60^\circ$

Vậy tam giác $ACD$ cũng là tam giác đều với $\angle ACD = 90^\circ$, $\angle CAD = 60^\circ$ và $\angle CDA = 30^\circ$.

Vậy ta có $DE = DC = \frac{1}{2}AC$.

Vậy $DH = DE$ và $HE$ song song với $AC$.

b, Ta có $HE$ song song với $AC$ nên $\angle HEC = \angle ECA = \angle CAD = 60^\circ$.

Vậy tam giác $HEC$ vuông tại E với $\angle HEC = 60^\circ$ và $\angle EHC = 30^\circ$.

Do đó, ta có $\angle EHC = 30^\circ$ và $\angle ECH = 60^\circ$.

Vậy tam giác $HEC$ là tam giác vuông cân tại E, nên $HE = EC = \frac{1}{2}AC$.

c, Ta có $\angle HEC = 60^\circ$ và $\angle EHC = 30^\circ$.

Gọi M là giao điểm của $AH$ và $CE$.

Xét tam giác $AHC$, ta có $\angle AHC = 90^\circ$ và $\angle HAC = 60^\circ$.

Vậy tam giác $AHC$ cũng là tam giác đều với $AC = HC$.

Do đó, ta có $AM = MC = \frac{1}{2}AC$.

Xét tam giác $AEC$, ta có $\angle AEC = 90^\circ$ và $\angle EAC = 60^\circ$.

Vậy tam giác $AEC$ cũng là tam giác đều với $AC = EC$.

Do đó, ta có $AM = MC = \frac{1}{2}AC$.

Vậy ta có $IA + IM + IC = IE + IM + EC = 2EC + IM > 2EC = AC$.

Vậy $IA + IM + IC > \frac{3}{2}AC$.