a) Tam giác MIB cân tại M vì góc MIB= góc MBI

Nên MB=MI=12cm

=> MI//AC, ta có:

AM/AB=IM/BC=12/30=3/5

⇒AB−12/AB=35⇒AB=30(cm)

BD là phân giác ngoài của góc ABC, ta có:
AD/CD=AB/BC=30/20=3/2

Do đó BC // DN, ta lại có:

AN/BN=AD/CN=3/2

⇒AB/BN=1/2;30/BN=1/2

Do đó BN=60(cm). Từ đó ta có: MN=72(cm)

b) Ta có EF//AB nên:

IA/IC=AB/EC(1)IA/IC=AB/EC(1)vàAD/CD=AB/CF(2)

Do đó BI và BD là phân giác trong và ngoài của góc B trong tam giác ABC, ta có:

 IA/IC=DA/DC(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: AB/EC=AB/CFdo đó EC=EF

Từ IA/IC=BI/IE⇒AI.IE=BI.IC