Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác nội tiếp và các tứ giác nội tiếp.

a) Ta có:
- Tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp vì tứ giác này có hai góc đối nhau là ∠A và ∠H, và hai góc còn lại là ∠D và ∠E là góc nội tiếp.
- Tứ giác BCDE cũng là tứ giác nội tiếp vì tứ giác này có hai góc đối nhau là ∠B và ∠C, và hai góc còn lại là ∠D và ∠E là góc nội tiếp.

Vậy điều cần chứng minh a) đã được chứng minh.

b) Ta có:
- Ta có tứ giác ABFC nội tiếp do F nằm trên đường tròn (O).
- Tứ giác ADFE nội tiếp do E nằm trên đường tròn (O).
- Áp dụng định lý cung nội tiếp, ta có: AE.AB = AD.AC

Vậy điều cần chứng minh b) đã được chứng minh.

c) Ta có:
- Góc AFE ngoại tiếp với góc AIE (cùng chắn cung AF trên đường tròn), suy ra góc AIE = góc AFE.
- Tứ giác ADFE nội tiếp, suy ra góc ADF = góc AFE.
- Vậy góc AIE = góc ADF, từ đó ta có AI vuông góc với DE.

Vậy điều cần chứng minh c) đã được chứng minh.

d) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM song song với DE (do AB // DE).
- Tứ giác ABMC nội tiếp, suy ra góc BMC = góc BAC.
- Tứ giác BHMC nội tiếp, suy ra góc BMC = góc BHC.
- Vậy góc BAC = góc BHC, từ đó ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.

Vậy điều cần chứng minh d) đã được chứng minh.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.