Ta có:
ab/c + 1 = ab/c + c/c = (ab+c)/c = (a+b)/c
bc/a + 1 = bc/a + a/a = (bc+a)/a = (b+c)/a
ca/b + 1 = ca/b + b/b = (ca+b)/b = (c+a)/b

Vậy ta cần chứng minh:
(a+b)/c + (b+c)/a + (c+a)/b ≤ 1/4

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)/c + (b+c)/a + (c+a)/b ≥ 3√[(a+b)(b+c)(c+a)/(abc)]

Ta cần chứng minh:
3√[(a+b)(b+c)(c+a)/(abc)] ≤ 1/4
⇔ (a+b)(b+c)(c+a) ≤ abc/64

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a+b)(b+c)(c+a) ≤ [(a+b+b+c+c+a)/3]^3 = (2/3)^3 = 8/27

Vậy ta có:
(a+b)(b+c)(c+a) ≤ 8/27
abc/64 ≥ 8/27
abc ≥ 64/27

Vậy để bất đẳng thức ban đầu đúng, ta cần chứng minh abc ≥ 64/27.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
abc ≤ [(a+b+c)/3]^3 = (1/3)^3 = 1/27

Vậy ta có:
abc ≤ 1/27
1/abc ≥ 27
abc ≥ 1/27

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh, từ đó suy ra bất đẳng thức đã cho.