Để chứng minh bất đẳng thức 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 + 1/18 + 1/19 < 2, ta sẽ chứng minh rằng tổng các phân số này nhỏ hơn 2.

Ta có:
1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 + 1/18 + 1/19 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + ... + 1/5 + 1/5 + 1/5
= 15/5 = 3

Vậy ta có: 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 + 1/18 + 1/19 < 3 < 2

Để chứng minh 2n + 3/n + 1 với n thuộc N là phân số tối giản, ta sẽ chứng minh rằng phân số này luôn nhỏ hơn 2.

Ta có: 2n + 3/n + 1 = (2n + 3n + 3)/(n + 1) = (5n + 3)/(n + 1)

Để chứng minh (5n + 3)/(n + 1) < 2, ta có:
5n + 3 < 2n + 2
3n < -1
n < -1/3

Vì n thuộc N nên n >= 0, do đó phân số (5n + 3)/(n + 1) luôn nhỏ hơn 2 với n thuộc N là phân số tối giản.

Vậy ta đã chứng minh được cả hai bất đẳng thức trên.