Để tìm \( m \) để đường thẳng đi qua điểm \( M(2,1) \), ta sử dụng điều kiện rằng điểm đó nằm trên đường thẳng, tức là thỏa mãn phương trình của đường thẳng.

Với \( y = (m+2)x + 5 \), thay \( x = 2 \) và \( y = 1 \) vào phương trình, ta có:

\[ 1 = (m+2) \times 2 + 5 \]

\[ 1 = 2m + 4 + 5 \]

\[ 1 = 2m + 9 \]

\[ 2m = -8 \]

\[ m = -4 \]

Vậy, \( m = -4 \) để đường thẳng đi qua điểm \( M(2,1) \).