Cho (O) đường kính BC, trên tia đối của tia BC lấy điểm A khác B

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Định lí hình học: Trong tam giác vuông, trung điểm của đoạn thẳng kết nối đỉnh vuông và trung điểm của cạnh huyền bằng nửa độ dài cạnh huyền.
2. Định lí hình học: Trong tam giác vuông, đường cao chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có tỉ lệ bằng tỉ lệ của 2 phần cạnh huyền mà đường cao chia.
3. Định lí hình học: Trong tam giác vuông, đường phân giác của góc nhọn chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có tỉ lệ bằng tỉ lệ của 2 phần cạnh huyền mà đường phân giác chia.

a. Ta có tam giác vuông AEC với đường cao AH và trung điểm P của DH. Áp dụng định lí 1, ta có AP = PH. Do tam giác vuông AEC có 2 góc nhọn nên theo định lí 3, ta có AE^2 = AB.AC.

b. Ta có tam giác vuông AEC với đường phân giác AI. Áp dụng định lí 3, ta có AI = AC. Do tam giác vuông AOC có 2 góc nhọn nên theo định lí 3, ta có AB.AC = AI.AO.

c. Ta cần chứng minh rằng 4 điểm Q, D, P, I cùng thuộc đường tròn. Ta sẽ chứng minh rằng tam giác QDP và tam giác QIP đồng dạng.

Gọi x = ∠QDP, y = ∠QIP. Ta có:
∠QDP = ∠QCP (cùng chắn cung QC trên đường tròn)
∠QCP = ∠OCA (cùng chắn cung QC trên đường tròn)
∠OCA = ∠AEC (cùng chắn cung AC trên đường tròn)
∠AEC = ∠DAH (cùng chắn cung AE trên đường tròn)
∠DAH = ∠DCH (2 góc nội tiếp trên cùng đường thẳng)
∠DCH = ∠QDP (cùng chắn cung DH trên đường tròn)

Tương tự, ta có:
∠QIP = ∠QIA (cùng chắn cung QI trên đường tròn)
∠QIA = ∠OCA (cùng chắn cung QC trên đường tròn)
∠OCA = ∠AEC (cùng chắn cung AC trên đường tròn)
∠AEC = ∠DAH (cùng chắn cung AE trên đường tròn)
∠DAH = ∠DCH (2 góc nội tiếp trên cùng đường thẳng)
∠DCH = ∠QIP (cùng chắn cung DH trên đường tròn)

Do đó, tam giác QDP và tam giác QIP đồng dạng, từ đó suy ra 4 điểm Q, D, P, I cùng thuộc đường tròn. Điều cần chứng minh.