Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là đường phân giác của góc ABC

a, Ta có BD là đường phân giác của góc ABC, nên ta có:
\( \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} \)
\( \dfrac{3}{5} = \dfrac{AD}{DC} \)
\( AD = \dfrac{3}{5} \times DC \)

Ta có \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = 3^2 + 5^2 \)
\( AC^2 = 9 + 25 \)
\( AC^2 = 34 \)
\( AC = \sqrt{34} \)

Vậy \( DC = \dfrac{5}{3} \times \sqrt{34} \)

b, Ta có \( \triangle AHD \sim \triangle ABC \)
\( \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{HD}{BC} \)
\( \dfrac{AD}{3} = \dfrac{HD}{5} \)
\( HD = \dfrac{5}{3} \times AD \)

\( AD^2 = AH^2 + HD^2 \)
\( AD^2 = AH^2 + \left(\dfrac{5}{3} \times AD\right)^2 \)
\( AD^2 = AH^2 + \dfrac{25}{9} \times AD^2 \)
\( \dfrac{4}{9} \times AD^2 = AH^2 \)
\( AD^2 = \dfrac{9}{4} \times AH^2 \)

Vậy ta có \( AD^2 = \dfrac{9}{4} \times IH^2 \)
\( AD^2 = BC \times HD \)

c, Ta có \( IH = AD \)
\( IH \times DC = AD \times DC \)
\( IH \times DC = AD^2 \)

Vậy \( IH \times DC = AD^2 \)