A. Ta có:
$\angle BAH = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\angle BHA = \angle BAC$ (cùng chắn cung BC)
Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA theo góc.

Ta có: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ (theo định lý Pythagore)
$BH^2 = BH.BC$ (do tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA)
Vậy $AB^2 = BH.BC$.

B. Ta có: $AH^2 = AB^2 - BH^2 = AB^2 - BH.BC$
$AH^2 = AB^2 - BH.BC = BH^2 + BH.BC - BH.BC = BH^2$
Vậy $AH^2 = BH.CH$.

C. Ta có: $P$ là trung điểm của $BH$ nên $AP = \frac{1}{2}BH$
$Q$ là trung điểm của $AH$ nên $AQ = \frac{1}{2}AH$
Vậy $\frac{AP}{AQ} = \frac{BH}{AH} = \frac{BH}{BC} = \frac{AB}{AC}$
Vậy tam giác BAP đồng dạng với tam giác ACQ.