S= 3 +3 mũ 2+ ... +3 mũ 53 chứng minh chia hết cho 15

Để chứng minh rằng s = 3^1 + 3^2 + ... + 3^53 chia hết cho 15, ta sẽ chứng minh rằng tổng các số mũ của 3 từ 1 đến 53 chia hết cho 5 và chia hết cho 3.

Ta có:
3^1 ≡ 3 (mod 5)
3^2 ≡ 4 (mod 5)
3^3 ≡ 2 (mod 5)
3^4 ≡ 1 (mod 5)

Nhận thấy rằng sau mỗi 4 bước, dãy số mũ của 3 sẽ lặp lại theo chu kỳ 4. Vì vậy, ta chỉ cần xác định phần dư của 53 khi chia cho 4 để tìm số mũ tương ứng của 3.

53 ≡ 1 (mod 4)

Vậy 3^53 ≡ 3^1 ≡ 3 (mod 5)

Do đó, tổng s = 3^1 + 3^2 + ... + 3^53 chia hết cho 5.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tổng s chia hết cho 3. Ta biết rằng 3 chia hết cho 3, và 3^2 = 9 chia hết cho 3. Do đó, mọi số mũ của 3 lớn hơn 1 đều chia hết cho 3.

Vậy tổng s = 3^1 + 3^2 + ... + 3^53 chia hết cho cả 3 và 5, tức là chia hết cho 15.