Để chứng minh 1), ta có:

• Đường tròn (O) có đường kính AB nên tam giác AOB vuông tại O.


• Dây CD vuông góc với đường kính AB nên tam giác ACD cũng vuông tại C.


• Do đó, tam giác ACD và tam giác AOB đồng dạng.


• Từ đó, ta có $\angle ACD = \angle AOB = 90^\circ$.


• Vậy, tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn.

Để chứng minh 2), ta có:

• Do tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn nên $\angle BHF = \angle BEF$.


• Tam giác AEF và tam giác CDF đồng dạng (do cùng chứa góc).


• Do đó, $\frac{AF}{FC} = \frac{AE}{ED}$.


• Ta có $AF = AE - EF$ và $FC = CD - DC$.


• Thay vào biểu thức trên, ta được $\frac{AE - EF}{CD - DC} = \frac{AE}{ED}$.


• Suy ra $AE \cdot DC - AE \cdot DC + EF \cdot CD = AE \cdot ED$.


• Do $AE \cdot DC = AH \cdot HB$ (do tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn).


• Thay vào biểu thức trên, ta được $AH \cdot HB + EF \cdot CD = AE \cdot ED$.


• Do $EF \cdot CD = HF \cdot BD$ (do tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn).


• Thay vào biểu thức trên, ta được $AH \cdot HB + HF \cdot BD = AE \cdot ED$.


• Do tam giác AEF và tam giác CDF đồng dạng nên $\frac{HF}{HB} = \frac{EF}{ED}$.


• Do đó, $HF \cdot ED = EF \cdot HB$.


• Thay vào biểu thức trước, ta được $AH \cdot HB + EF \cdot HB = AE \cdot ED$.


• Suy ra $HB \cdot (AH + EF) = AE \cdot ED$.


• Do $AH + EF = AD = BD$ (do H là trung điểm của CD).


• Thay vào biểu thức trên, ta được $HB \cdot BD = AE \cdot ED$.


• Do $AE \cdot ED = AH \cdot HB$ (do tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn).


• Thay vào biểu thức trên, ta được $HB \cdot BD = AH \cdot HB$.


• Suy ra $BD = 4 \cdot AH$.


• Do đó, $CD^2 = 4 \cdot AH \cdot HB$.

Vậy, ta đã chứng minh được cả 2 điều cần chứng minh.