Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng định lý nửa đường tròn.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH. Ta có:
- Vì AD là đường cao nên ∠AHD = 90°.
- Vì AI là đường trung tuyến trong tam giác AHD nên AI song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC.
- Do đó, AI cũng là đường cao của tam giác ABC và cắt BC tại E.

Khi đó, ta có tứ giác AEFI là hình chữ nhật với AI là đường chéo. Do đó, tứ giác AEFI là hình bình hành và nó có hai đường chéo là AF và EI cắt nhau tại trung điểm của chúng, tức là H.

Vậy bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.