Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt (O) tại điểm thứ hai F

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lý về góc nội tiếp, góc ngoại tiếp, đồng quy và tứ giác điều hòa.

1) Ta có góc BOC = 180° - góc BAC (vì ABC nội tiếp) = 180° - góc BMC (vì BMOC nội tiếp) = góc BOM + góc COM.
Nhưng góc BOM = góc BEM (vì tứ giác OEBM nội tiếp) và góc COM = góc CEM.
Vậy góc BOC = góc BEM + góc CEM = góc BEC.
Do đó, tứ giác OEBM nội tiếp.

2) Ta có góc MDA = góc MCA (vì ABC nội tiếp) = góc MCB (vì MB // AC) = góc MEB (vì tứ giác OEBM nội tiếp).
Vậy tứ giác MDAE nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác MDAE, ta có: MA.DE + MD.AE = ME.AD.
Vì E là trung điểm của AD, nên MA = 2ME và MD = 2ME.
Thay vào công thức trên, ta được: 2ME.DE + 2ME^2 = ME.2ME => DE + 2ME = 2ME => DE = ME.
Vậy tứ giác MDAE là tứ giác điều hòa, từ đó suy ra MB^2 = MA.MD.

3) Ta có góc BEC = góc BOC (vì tứ giác OEBM nội tiếp) = góc MOC (vì BMOC nội tiếp).

4) Ta có góc BFM = góc BEM (vì tứ giác OEBM nội tiếp) = góc BOM (vì BMOC nội tiếp) = góc BAM (vì BF // AM).
Vậy BF // AM.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.