a) Ta có:
$\angle KHC = 90^{\circ}$ (do $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB$)
$\angle KBC = \angle KAC = \angle KHC$ (cùng chứng minh)
$\angle KCB = \angle KAB = \angle KHB$ (cùng chứng minh)

Do đó, tứ giác $KHCB$ nội tiếp trong một đường tròn.

b) Ta có:
$\angle MCK = \angle HCK$ (cùng chứng minh)
$\angle HCK = \angle HKB$ (cùng chứng minh)
$\angle HKB = \angle MCB$ (cùng chứng minh)

Vậy, ta có $\angle MCK = \angle MCB$, tức $MC$ là tia phân giác của góc $\angle ACB$.

c) Ta có $BE = AM$ và $AC = 2MC$ (vì $C$ là trung điểm của $AB$), từ đó suy ra $BE = 2MC$.

Do đó, ta có $\angle MCE = \angle MCB = \angle HKB = \angle HCB = 90^{\circ}$.

Vậy, tam giác $MCE$ là tam giác vuông.