Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O)

a) Ta có:
\[\angle OBC = \angle OCB = 90^\circ\]
Do đó tứ giác OBSC nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
\[\angle ABE = \angle ACB = \angle ACF = \angle AEF\]
Vậy các tam giác ABE và AEF đồng dạng.
Tương tự, ta có các tam giác AEC và ASF đồng dạng.
Do đó:
\[\frac{AB}{AE} = \frac{BS}{ME}\]
\[AB \cdot ME = AE \cdot BS\]

c) Ta có:
\[\angle NFE = \angle NAE = \angle BAC = \angle FCE\]
Vậy các tam giác NFE và FCE đồng dạng.
Tương tự, ta có các tam giác NAE và BAC đồng dạng.
Do đó:
\[\frac{NF}{NE} = \frac{FC}{CE} = \frac{AC}{AE}\]
Vậy tam giác ANE và AFC đồng dạng.
Tương tự, ta chứng minh được tam giác ANF và AEB đồng dạng.
Do đó:
\[\angle ANF = \angle AEB\]
\[NP \perp BC\]