Cho đoạn thẳng MN và P nằm giữa M, N sao cho PM>PN.Từ P kẻ tia Px vuông góc với MN tại P trên tia Px lấy Q,R sao cho P,Q=PM,PR=PN giao điểm của MQ,RN là S

a) Ta có:
- PQ = PM
- PR = PN
Vậy tam giác PQM và tam giác PRN đều có một cạnh chung là PN, nên chúng đồng dạng.
Do đó, ta có:
∠QPM = ∠RPN (cùng nội tiếp trên cùng một cung PN)
∠PMQ = ∠PNR (do tam giác PQM và PRN đồng dạng)
Vậy tam giác PMQ và tam giác PNR đồng dạng.
Từ đó, ta có: ∠QPS = ∠RPS (do tam giác PMQ và PNR đồng dạng)
Vậy MS vuông góc với RN.

b) Ta có:
- ∠PMQ = ∠PNR (do tam giác PQM và PRN đồng dạng)
- ∠QPM = ∠RPN (cùng nội tiếp trên cùng một cung PN)
Vậy tam giác PMQ và tam giác PNR đồng dạng.
Do đó, ta có:
∠QPS = ∠RPS (do tam giác PMQ và PNR đồng dạng)
Vậy MQ // NR.
Vậy R là trực tâm của tam giác MQN.