a, Ta có AP là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc PAO = góc OAP (1)
Tương tự, ta có góc QAO = góc OAQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc PAO + góc QAO = góc OAP + góc OAQ = 180 độ
Do đó, tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp.

b, Gọi M là tâm của đường tròn ngoại tiếp APOQ. Ta có AM vuông góc với PQ (do là đường phân giác của góc APOQ), nên M nằm trên đường thẳng vuông góc với PQ tại A. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp APOQ chính là điểm M.

c, Ta có AB // PQ và OA // PB nên góc OAB = góc PQA (do cùng là góc ở tâm cùng cung)
Tương tự, ta có góc OBA = góc QPA
Do đó, tứ giác OABP và PQAO là tứ giác tứ giác tứ giác nội tiếp.
Từ đó, ta có OA.OB = OP. OQ (3)

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác APOQ ta được:
AP. OQ + AQ.OP = AO.PQ
Vì AP = AQ (vì là tiếp tuyến) nên ta có:
AP^2 = AO.PQ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: OA.OB = AP^2
=> OA = AP = AD
=> DA = DQ

d, Ta đã chứng minh ở câu c rằng DA = DQ.